Potenzialtheorie

Potenzialtheorie,

 

Mathematik und Physik: die Lehre von den Potenzialfunktionen V (x, y, z ), die der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen genügen:

 

Aufgabe der Potenzialtheorie ist es, zu vorgegebenen Funktionswerten (oder Werten der ersten Ableitung der gesuchten Funktion) auf dem Rand eines Volumens G ⊂ ℝ³ eine Funktion zu finden, die diese Werte auf ganz G fortsetzt und der Laplace-Gleichung genügt (erstes beziehungsweise zweites Randwertproblem der Potenzialtheorie). Eine Verallgemeinerung der Laplace-Gleichung ist die Poisson-Gleichung, bei der an die Stelle der Null auf der rechten Seite eine der Massen- oder Ladungsverteilung proportionale Größe tritt. Die durch eine Massenverteilung erzeugte Feldstärke der Gravitation ist im Vakuum der Gradient einer Potenzialfunktion. Entsprechendes gilt für die Elektrostatik. Für das analoge Problem in der Ebene besteht ein enger Zusammenhang mit der Funktionentheorie.